Mathématiques

Enseigner les Mathématiques en France

En France, la formation mathématique au lycée général et technologique vise deux objectifs :

  • L’acquisition de connaissances et de méthodes nécessaires à chaque élève pour construire son avenir personnel, professionnel et citoyen, et préparer la poursuite d’études supérieures.
  • Le développement de compétences transversales (autonomie, prise d’initiative, adaptabilité, créativité, rigueur…) et de compétences spécifiques aux mathématiques.

    1. Acquérir des connaissances et des méthodes

 Au collège – Les programmes de Mathématiques au collège (élèves de 11 à 14 ans) sont divisés en 4 parties :

  • Nombres et calculs
  • Organisation et gestion de données, fonctions
  • Grandeurs et mesures
  • Espace et géométrie

En outre, un enseignement de l’informatique est dispensé conjointement en mathématiques et en technologie.

 

Ces programmes sont ancrés dans les cinq domaines du socle commun de connaissances, de compétences et de culture qui couvre la période de la scolarité obligatoire (enfants de 6 à 16 ans). Ce socle est une référence centrale pour le travail des enseignants et des acteurs du système éducatif.

Domaine 1 : les langages pour penser et communiquer

Domaine 2 : les méthodes et outils pour apprendre

Domaine 3 : la formation de la personne et du citoyen

Domaine 4 : les systèmes naturels et les systèmes techniques

Domaine 5 : les représentations du monde et l’activité humaine

 

Exemples de problèmes posés au DNB

(Diplome National du Brevet: examen de fin de scolarité obligatoire, en fin de 3ème ou fin de collège)

Au lycée général – Les programmes de lycée (élèves de 15 à 17 ans) sont divisés en trois parties :

  • Fonctions
  • Géométrie
  • Statistiques et probabilités

Les capacités attendues dans le domaine de l’algorithmique d’une part et du raisonnement d’autre part, sont transversales et doivent être développées à l’intérieur de chacune des trois parties.

Programme de la classe de seconde

(première année au lycée : commune à tous les élèves de 15 ans)

http://www.education.gouv.fr/cid28928/mene0913405a.html

 

Programme de la classe de première scientifique

(deuxième année au lycée : élèves de 16 ans ayant choisi la voie scientifique)

http://www.education.gouv.fr/cid53326/mene1019634a.html

 

Programme de la classe de première littéraire et économique

(deuxième année au lycée : élèves de 16 ans ayant choisi la voie littéraire ou la voie économique)

http://www.education.gouv.fr/cid53322/mene1019662a.html

 

Programme de la classe de terminale scientifique

(troisième année au lycée : élèves de 17 ans ayant choisi la voie scientifique)

http://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=57529

 

Programme de la classe de terminale littéraire et économique

(troisième année au lycée : élèves de 17 ans ayant choisi la voie littéraire ou la voie économique)

http://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=57519

 

 

Exemples de problèmes posés aux Baccalauréats scientifique, économique et littéraire

(Fin de lycée général)

La mise en œuvre du programme doit permettre de poursuivre le développement des six compétences majeures de l’activité mathématique : chercher, calculer, modéliser, représenter, raisonner, communiquer, qui sont détaillées ci-dessous.

2. Développer des compétences

Chercher

Analyser un problème.

Extraire, organiser et traiter l’information utile.

Observer, s’engager dans une démarche, expérimenter en utilisant éventuellement des outils logiciels, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, reformuler un problème, émettre une conjecture.

Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle.

Exemple :

Un verre a une forme conique. La hauteur de la partie conique est  et le diamètre d’ouverture du cône est . On veut que le verre soit à moitié plein. Jusqu’à quelle hauteur doit-on le remplir ? (réponse en  arrondie à )

 

On écrira dans la copie les résultats d’une réflexion personnelle, comprenant tous les essais entrepris, même s’ils n’ont pas abouti, les schémas utiles et le détail des calculs effectués. On pourra utiliser tous les outils à disposition : calculatrice, tableur, formulaire…

 

 Verre

Calculer

Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel).

Mettre en oeuvre des algorithmes simples.

Exercer l’intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications.

Contrôler les calculs (au moyen d’ordres de grandeur, de considérations de signe ou d’encadrement).

Exemple :

On dispose d’un carré de côté 1.

            Etape 1 : on colore la moitié du carré.

            Etape 2 : on colore la moitié de la partie non colorée.

            Et ainsi de suite…

 Carré à colorier

Peut-on, par cette méthode, arriver à colorier tout le carré initial de côté 1 ?

 

Modéliser

Traduire en langage mathématique une situation réelle (à l’aide d’équations, de suites, de fonctions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de probabilité, d’outils statistiques …).

Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.

Valider ou invalider un modèle.

Exemple:

Sur une plage de Malibu, le maître-nageur Mitch utilise une corde de 160 mètres de longueur et deux bouées pour délimiter une zone de baignade de forme rectangulaire. Il se demande où placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus grande aire possible.

Bay watch

Représenter

Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…) adapté pour traiter un problème ou pour représenter un objet mathématique.

Passer d’un mode de représentation à un autre.

Changer de registre.

Exemple :

Un magazine est vendu uniquement sur abonnement annuel depuis 2012.

Le directeur commercial a rassemblé ci-dessous les données liées aux ventes  :

Année 2012 2013 2014
Prix de l’abonnement (en euros) 59 69 80
Nombre d’abonnés 8 714 8 174 7 580
  • Si le prix est porté à 90 € en 2015, à quel nombre d’abonnés pourrait-on s’attendre ?
  • Comment estimer le prix qui amènerait 10 000 personnes à s’abonner ?

 

Raisonner

Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes, équivalences, connecteurs) pour bâtir un raisonnement.

Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème démontré, théorème admis…

Utiliser différents types de raisonnement (par analyse et synthèse, par équivalence, par disjonction de cas, par l’absurde, par contraposée, par récurrence…).

Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.

Exemple :

Le professeur rentre dans la classe et écrit les deux égalités suivantes :

            (a+b)² = a²+2ab+b²

            (a+b)3  =  a3 +3ab +b3

Que pensez-vous de ces deux égalités ?

Communiquer

Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel.

Développer une argumentation mathématique correcte à l’écrit ou à l’oral.

Critiquer une démarche ou un résultat.

S’exprimer avec clarté et précision à l’oral et à l’écrit.

Exemple :

Commenter cette aventure …

Asterix

Fichier pdf

Pour développer ces 6 compétences, une place importante doit être accordée à la résolution de problèmes, qu’ils soient internes aux mathématiques, ou liés à des situations issues de la vie quotidienne ou d’autres disciplines.

 

3. Résoudre des problèmes

La résolution de problèmes est un cadre privilégié pour à la fois acquérir les contenus mathématiques ainsi que pour développer, mobiliser et combiner plusieurs compétences.

Elle vise à :

  • Enrichir l’activité mathématique des élèves, leur faire acquérir des compétences plus variées
  • Renforcer l’intérêt des élèves pour notre discipline dans des situations en prise avec une certaine réalité

Exemple de résolution de problème pouvant entrer dans ce cadre :

Django compare trois forfaits SMS mensuels:

            Forfait A : fixe de 20 € quel que soit le nombre de SMS envoyés.

            Forfait B : 0,15 € par SMS envoyé.

            Forfait C : 12 € fixe et 0,05 € par SMS envoyé.

Aider Django à choisir le forfait le plus avantageux selon le nombre de SMS qu’il enverra.

 

Ce problème peut permettre au choix d’introduire le cours sur les fonctions linéaires et affines ou de réinvestir ces notions après le cours. L’ouverture du problème permet à tout élève d’entrer dans l’activité mathématique avec son niveau de compétence. Une différentiation des attendus est possible : du compte-rendu oral et partiel jusqu’à une rédaction académique d’une solution exhaustive.

Cependant, pour prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager, l’élève doit disposer d’automatismes. Ceux-ci facilitent le travail intellectuel en libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique et élargissent le champ des démarches susceptibles d’être engagées. L’installation de ces réflexes nécessite la mise en œuvre directe, sur des exercices aux objectifs simples et techniques, de procédures de base liées à chacune de ces compétences. La résolution de problèmes peut en effet révéler le besoin de s’exercer sur des tâches simples, d’ordre procédural, et motiver ainsi la nécessité de s’y engager.

Au final, pour le professeur de Mathématiques, il s’agit donc de trouver un équilibre entre :

  • les activités « techniques » de travail des automatismes : calcul mental (opérations de base, pourcentages, moyennes, petites équations …), conception d’algorithmes simples
  • la résolution de problèmes intéressants, parfois concrets et dans un contexte, qui donnent du sens à l’activité mathématique pour les élèves.

En résumé :

Carte mentale noeud papillon

Fichier pdf